学习寿险精算前你需要掌握的利息理论基础（一）

于是

本金：每项业务开始时的投资金额

积累值（终值）：该业务在一定时间后回收到的总金额。决定积累值的两个因素为本金金额和从投资日算起的时间长度。用 $a (t)$ 表示0时刻的本金1 经过 $t$ 年的连续累计得到的积累值，称 $a (t)$ 为累积因子。

折现因子：积累因子的倒数成为折现因子，记为 $v$ , 即： $v = a (t)^{- 1}$ 。

利息：指借用某种资本的代价或借出某种资本的报酬。即借债人除偿还出借人（放款人）原来出借的资本外，还要支付一个附加的补偿，这个补偿叫做利息。

利率：单位本金在单位时间（一个计息期）所获得的利息即效用利率，又称实际利率，简称为利率。计算方法为：度量期内得到的李欣金额与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常用字母 $i$ 来表示。

例题：某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元。问：第一年和第二年的利息和实际利率各为多少？

答：
利息：
$\begin{array}{r} I_{1} = 1050 - 1000 = 50 I_{2} = 1100 - 1050 = 50 \end{array}$

实际利率：
$\begin{array}{r} i_{1} = \frac{1050 - 1000}{1000} = 5 i_{2} = \frac{1100 - 1050}{1050} = 4.762 \end{array}$

前面说的实际利率 $i$ 是从一个完整度量期而言的，若投资期为多个或非整数个度量期，则应该从单利和复利角度来进行度量。

单利：考虑一单位本金，以每期单利 $i$ 计息，则t时的积累值为： $a (t) = 1 + i * t$ 。

复利：考虑一单位本金，以每期复利 $i$ 计息，则t时的积累值为： $a (t) = (1 + i)^{t}$ 。

可以看出，单利的利息不再产生利息，而复利则是“利滚利”。当 $t \geq 1$ 时, 复利产生更大的积累值，当 $t \leq 1$ 时，单利产生更大的积累值。

实际贴现率：一个度量期内的实际贴现率即为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用 $d$ 来表示。我们有 $v = 1 - d$ 。

因此，我们有：

利息=期末可回收资金金额 $\times$ 贴现率 = 期初投资金额 $\times$ 利率

例题：某人的本金为1000元，第一期结束时，该投资者的账户余额为1050，求该投资者的实际贴现率。

答：实际贴现率： $d = \frac{1050 - 1000}{1050} = 0.04762$

名义利率：每期付 $m$ 次利息的利率，记为 $i^{(m)}$ 。具体是指，每 $\frac{1}{m}$ 期支付利息一次，而在每 $\frac{1}{m}$ 期上的实际利率为 $\frac{i^{(m)}}{m}$ 。从而实际利率 $i$ 和名义利率 $i^{(m)}$ 有如下换算公式：
$1 + i = (1 + \frac{i^{(m)}}{m})^{m}$

名义贴现率：每期付 $m$ 次利息的贴现率，记为 $d^{(m)}$ 。具体是指，每 $\frac{1}{m}$ 期支付利息一次，而在每 $\frac{1}{m}$ 期上的实际贴现率为 $\frac{d^{(m)}}{m}$ 。从而实际贴现率 $d$ 和名义贴现率 $d^{(m)}$ 有如下换算公式： $1 - d = (1 - \frac{d^{(m)}}{m})^{m}$

从而有如下换算公式： $(1 + \frac{i^{(m)}}{m})^{m} = 1 + i = (1 - d)^{- 1} = (1 - \frac{d^{(p)}}{p})^{- p}$ （对于任意的 $m$ , $p$ 成立）

例题：求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率及每年计息4次的年名义贴现率。

答：由名义利率和名义贴现率之间的关系可得： $(1 + \frac{i^{(2)}}{2})^{2} = 1 + 8$

从而， $i^{(2)} = 7.85$

由名义贴现率和实际利率的关系可得： $(1 - \frac{d^{(4)}}{4})^{- 4} = 1 + 8$

从而, $d^{(4)} = 7.623$

利息力：在时间点上度量利息。用公式表示为 $δ_{t} = \frac{a^{'} (t)}{a (t)}$ , 从而我们可以得到 $a (t) = e^{\int_{0}^{t} δ_{t} d t}$

例题：假设利息力 $δ_{t} = 0.01 t$ , $0 \leq t \leq 2$ 。求投资1000元在第一年末的积累值和第二年的利息金额。

答：第一年末的积累值： $A (1) = 1000 e^{\int_{0}^{1} 0.01 d t} = 1005$
第二年内的利息金额： $I_{2} = 1000 e^{\int_{0}^{2} 0.01 d t} - 1000 e^{\int_{0}^{1} 0.01 d t} = 15.2$

总结：本届各种利息度量联系在一起用公式表达为：
$(1 + \frac{i^{(m)}}{m})^{m} = 1 + i = v^{- 1} = (1 - d)^{- 1} = (1 - \frac{d^{(p)}}{p})^{- p} = e^{δ}$

习题：

习题1 ：基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度 $δ = t / 6$ 积累，在时刻 $t = 0$ ,两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

习题2：两项基金X和Y以相同的金额开始，且有：

（1）基金X以利息强度5%计息；

（2）基金Y以每半年计息一次的年名义利率 $j$ 计息;

（3）在第八年来，基金X中的金额是Y中的1.05倍。求 $j$

答案：

习题1：由利息力和名义利率之间的关系可得： $(1 + \frac{12}{12})^{12 t} = e^{\int_{0}^{t} \frac{t}{6} d t}$

解得 $t = 1.4328$

习题2：由利息力和名义利率之间的关系可得：
$e^{0.05 \times 8} = (1 + \frac{j}{2})^{2 \times 8} \times 1.05$

解得 $j = 0.04439$