利物浦 MATH273 & 西浦 MATH217(寿险精算1)复习课讲义



  • 前段时间 Jackie 做利物浦 MATH273 寿险精算 1 课程的在线辅导,根据近三年常考题型总结了一份复习课讲义,和大家做一分享。 MATH 273 和西交利物浦大学的 MATH 217 课程内容完全一致,和其他学校的寿险精算1课程内容也相近。

    Sx(t)是生存函数的条件

    作为生存函数,Sx(t) 必须满足如下三个条件:

    • Sx(0)=P(Tx>0)=1
    • limxSx(t)=limxP(Tx>t)=0
    • Sx(t)关于 t 是非增的(导函数小于等于0)

    通过S0(t)F0(t)计算 pxtqxtμx

    pxt=Sx(t)=S0(x+t)S0(x)=1F0(x+t)1F0(x)

    μx=f0(x)S0(x)=1S0(x)ddxS0(x)=xlogS0(x)

    余命期望的计算

    ex˚=E[Tx]=0pxtdt
    ex=E[Kx]=k=0kP(Kx=k)=k=1pxk

    非整数年龄 p 概率和 q 概率的近似

    先来看两个通用的公式:

    Integral expression for qxt:

    qxt=0tpxsμx+sds

    Formula for pxt in terms of μ:
    pxt=exp(0tμx+sds)

    在UDD和CFM假设下,非整数年龄的 p 概率和 q 概率可以做进一步地近似:

    Uniform distribution of deaths assumption (UDD)

    假设对于整数年龄 x ,和 0t1,余命的概率密度函数 fTx(t)=pxtμx+s 为常数,则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 q 概率:
    $$
    \left{
    qxt=tqx0t1 qx+sts=(ts)qx1sqx0s<t1
    \right.
    $$

    在 UDD 假设下, lx 在整数年龄间是线性函数,所以我们也可以用下列公式近似:
    lx+t=lxtdx=(1t)lx+tlx+1

    Constant force of mortality assumption (CFM)

    假设对于整数年龄 x,和 0t1,死亡力函数 μx+t=μ 是一个常数,,则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 p 概率:
    $$
    \left{
    pxt=etμ=(px)t px+sts=e(ts)μ=(px)ts
    \right.
    $$

    阐述 p 概率,q 概率,寿险和年金EPV的符号含义

    见推文 《如何有效记忆寿险精算符号》

    写出未来损失的随机变量

    t 时刻未来损失的随机变量(Future loss random variable)记为 Lt

    Lt=PV at t of future benefits + PV at t of future expenses - PV at t of future premiums.

    例如,对于一个死亡年度末给付的终身寿险,the gross future loss random variable at the outset is:
    L0=(S+f)vKx+1+I+e(a¨Kx+1|1)Pa¨Kx+1|

    需要熟练掌握寿险和年金的现值随机变量的书写。

    等价原则下保费的计算

    E(L0)=0 计算出的保费。也就是说:

    EPV of premiums = EPV of benefits + EPV of expense.

    例如,对于一个死亡年度末给付的终身寿险:
    Pa¨x=(S+f)Ax+I+e(a¨x1)

    计算满足某个概率的保费或计算某个特定保费下的损失概率

    可以列出式子:P(L0>0)α,将未来损失的随机变量代入公式,并将其中的 Kx 分离出来,转换为 pxt,查表求解。

    准备金的计算

    主要考未来法准备金(prospective reserve)。

    一个 发行了 t 年的保单的保单价值(policy value)或者未来法准备金(prospective reserve)(寿险1中可认为两者为相同概念)记为tV ,表示 t 时刻 future loss random variable的期望值。

    Vt=EPV at t of future benefits + expenses - EPV at t of future premiums.

    例如,对于一个死亡时立即给付的终身寿险:
    Vtpro=SA¯x+t+ea¨x+t(m)+fA¯x+tGa¨x+t(m)

    可变保额情况下的保费和准备金计算

    保额可以是单利(simple bonus)增长或复利(compound bonus)增长。单利增长的情况用递增寿险或递增年金的公式求解。复利增长的情况见 带分红寿险两种形式的复利bonus

    Annual profit

    PROt=(Vt+Ge)(1+i)qx+t(S+f)px+tVt+1

    其中只有保费 G 和准备金是 Vt 按照计算保费时的假设算出来的,其余均是按照这一年里实际情况来(投资收益率、死亡率和费用率)。

    Asset shares

    类似过去法准备金的计算。记 AStt 时刻的asset share,则将所收保费累积到 t 时刻并减去保险金和索赔费用,再除以有效保单的数目,即可得到 asset share.

    如果实际的投资收益率、死亡率和费用率和假设的相同,asset share 应当等于 policy value。那么考试要求评论两者差别时就可以根据投资收益率、死亡率和费用率三方面的差别来讲。

    Thiele's differential equation

    ddtVxt=δtVxt+Ptet(St+EtVxt)μ[x]+t

    是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分:利息增长;保费收入;费用支出;死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。

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