利物浦 MATH273 & 西浦 MATH217(寿险精算1)复习课讲义
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前段时间 Jackie 做利物浦 MATH273 寿险精算 1 课程的在线辅导,根据近三年常考题型总结了一份复习课讲义,和大家做一分享。 MATH 273 和西交利物浦大学的 MATH 217 课程内容完全一致,和其他学校的寿险精算1课程内容也相近。
是生存函数的条件作为生存函数,
必须满足如下三个条件: 关于 是非增的(导函数小于等于0)
通过
或 计算 、 和余命期望的计算
非整数年龄
概率和 概率的近似先来看两个通用的公式:
Integral expression for
:Formula for
in terms of :
在UDD和CFM假设下,非整数年龄的
概率和 概率可以做进一步地近似:Uniform distribution of deaths assumption (UDD)
假设对于整数年龄
,和 ,余命的概率密度函数 为常数,则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 概率:
$$
\left{
\right.
$$在 UDD 假设下,
在整数年龄间是线性函数,所以我们也可以用下列公式近似:
Constant force of mortality assumption (CFM)
假设对于整数年龄
,和 ,死亡力函数 是一个常数,,则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 概率:
$$
\left{
\right.
$$阐述
概率, 概率,寿险和年金EPV的符号含义见推文 《如何有效记忆寿险精算符号》
写出未来损失的随机变量
时刻未来损失的随机变量(Future loss random variable)记为 : =PV at of future benefits + PV at of future expenses - PV at of future premiums.例如,对于一个死亡年度末给付的终身寿险,the gross future loss random variable at the outset is:
需要熟练掌握寿险和年金的现值随机变量的书写。
等价原则下保费的计算
令
计算出的保费。也就是说:EPV of premiums = EPV of benefits + EPV of expense.
例如,对于一个死亡年度末给付的终身寿险:
计算满足某个概率的保费或计算某个特定保费下的损失概率
可以列出式子:
,将未来损失的随机变量代入公式,并将其中的 分离出来,转换为 ,查表求解。准备金的计算
主要考未来法准备金(prospective reserve)。
一个 发行了
年的保单的保单价值(policy value)或者未来法准备金(prospective reserve)(寿险1中可认为两者为相同概念)记为 ,表示 时刻 future loss random variable的期望值。 =EPV at of future benefits + expenses - EPV at of future premiums.例如,对于一个死亡时立即给付的终身寿险:
可变保额情况下的保费和准备金计算
保额可以是单利(simple bonus)增长或复利(compound bonus)增长。单利增长的情况用递增寿险或递增年金的公式求解。复利增长的情况见 带分红寿险两种形式的复利bonus
Annual profit
其中只有保费
和准备金是 按照计算保费时的假设算出来的,其余均是按照这一年里实际情况来(投资收益率、死亡率和费用率)。Asset shares
类似过去法准备金的计算。记
为 时刻的asset share,则将所收保费累积到 时刻并减去保险金和索赔费用,再除以有效保单的数目,即可得到 asset share.如果实际的投资收益率、死亡率和费用率和假设的相同,asset share 应当等于 policy value。那么考试要求评论两者差别时就可以根据投资收益率、死亡率和费用率三方面的差别来讲。
Thiele's differential equation
是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分:利息增长;保费收入;费用支出;死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。
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