利物浦 MATH273 & 西浦 MATH217（寿险精算1）复习课讲义
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前段时间 Jackie 做利物浦 MATH273 寿险精算 1 课程的在线辅导，根据近三年常考题型总结了一份复习课讲义，和大家做一分享。 MATH 273 和西交利物浦大学的 MATH 217 课程内容完全一致，和其他学校的寿险精算1课程内容也相近。
$S_{x}(t)$是生存函数的条件
作为生存函数，$S_{x}(t)$ 必须满足如下三个条件：
- $S_{x}(0)=P(T_{x}> 0)=1$
- $\lim\limits_{x\to \infty}S_{x}(t)=\lim\limits_{x\to \infty}P(T_{x}> t)=0$
- $S_{x}(t)$关于 $t$ 是非增的（导函数小于等于0）
通过$S_{0}(t)$或$F_{0}(t)$计算 $\px{t}{x}$ 、$\qx{t}{x}$ 和 $\mu_{x}$
$$\px{t}{x}=S_{x}(t)=\dfrac{S_{0}(x+t)}{S_{0}(x)}=\dfrac{1-F_{0}(x+t)}{1-F_{0}(x)}$$
$$\mu_{x}=\dfrac{f_{0}(x)}{S_{0}(x)} =-\frac{1}{S_{0}(x)} \cdot \frac{d}{d_{x}} S_{0}(x) =-\frac{\partial}{\partial x} \log S_{0}(x)$$
余命期望的计算
$$
\mathring{e_x}=E[T_{x}]=\int_{0}^{\infty}\px{t}{x}dt
$$
$$
e_{x}=E[K_{x}]=\sum_{k=0}^{\infty}k \cdot P(K_{x}=k)=\sum_{k=1}^{\infty}\px{k}{x}
$$非整数年龄 $p$ 概率和 $q$ 概率的近似
先来看两个通用的公式：
Integral expression for $\qx{t}{x}$:
$$
\qx{t}{x}=\int_{0}^{t}\px{s}{x}\mu_{x+s}ds
$$Formula for $\px{t}{x}$ in terms of $\mu$:
$$
\px{t}{x}=exp(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)
$$在UDD和CFM假设下，非整数年龄的 $p$ 概率和 $q$ 概率可以做进一步地近似：
Uniform distribution of deaths assumption (UDD)
假设对于整数年龄 $x$ ，和 $0\leq t \leq 1$，余命的概率密度函数 $f_{T_{x}}(t) =\px{t}{x}\mu_{x+s}$ 为常数，则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 $q$ 概率：
$$
\left{
\begin{array}{cc}
{\qx{t}{x}=t\qx{}{x}} & {0\leq t \leq 1}\
{\qx{t-s}{x+s}=\frac{(t-s)\qx{}{x}}{1-s\qx{}{x}}} & {0\leq s < t \leq 1}
\end{array}
\right.
$$在 UDD 假设下， $l_{x}$ 在整数年龄间是线性函数，所以我们也可以用下列公式近似：
$$
l_{x+t}=l_{x}-td_{x}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}
$$Constant force of mortality assumption (CFM)
假设对于整数年龄 $x$，和 $0\leq t \leq 1$，死亡力函数 $\mu_{x+t} =\mu$ 是一个常数，，则可以用以下公式近似计算非整数年龄的 $p$ 概率：
$$
\left{
\begin{array}{c}
{\px{t}{x}=e^{-t\mu}=(p_{x})^{t} }\
{\px{t-s}{x+s}=e^{-(t-s)\mu}=(p_{x})^{t-s}}
\end{array}
\right.
$$阐述 $p$ 概率，$q$ 概率，寿险和年金EPV的符号含义
见推文 《如何有效记忆寿险精算符号》
写出未来损失的随机变量
$t$ 时刻未来损失的随机变量（Future loss random variable）记为 $L_t$：
$L_t$=PV at $t$ of future benefits + PV at $t$ of future expenses - PV at $t$ of future premiums.
例如，对于一个死亡年度末给付的终身寿险，the gross future loss random variable at the outset is:
$$
L_0=(S+f)v^{K_{x}+1}+I+e(\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}}-1)-P\axzz{}{}{}{\angl{K_{x}+1}}
$$需要熟练掌握寿险和年金的现值随机变量的书写。
等价原则下保费的计算
令 $E(L_0)=0$ 计算出的保费。也就是说：
EPV of premiums = EPV of benefits + EPV of expense.
例如，对于一个死亡年度末给付的终身寿险：
$$
P\axzz{}{}{}{x}=(S+f)\Ax{}{}{}{x}+I+e(\axzz{}{}{}{x}-1)
$$计算满足某个概率的保费或计算某个特定保费下的损失概率
可以列出式子：$P\left(L_{0}>0\right) \leq \alpha$，将未来损失的随机变量代入公式，并将其中的 $K_x$ 分离出来，转换为 $\px{t}{x}$，查表求解。
准备金的计算
主要考未来法准备金（prospective reserve）。
一个 发行了 $t$ 年的保单的保单价值（policy value）或者未来法准备金（prospective reserve）（寿险1中可认为两者为相同概念）记为${}_{t}V$ ，表示 $t$ 时刻 future loss random variable的期望值。
$\Vx{t}{}$=EPV at $t$ of future benefits + expenses - EPV at $t$ of future premiums.
例如，对于一个死亡时立即给付的终身寿险：
$$
\Vx{t}{}^{\text{pro}}=S\Axz{}{}{}{x+t}+e\axzz{}{}{(m)}{x+t}+f\Axz{}{}{}{x+t}-G\axzz{}{}{(m)}{x+t}
$$可变保额情况下的保费和准备金计算
保额可以是单利（simple bonus）增长或复利（compound bonus）增长。单利增长的情况用递增寿险或递增年金的公式求解。复利增长的情况见 带分红寿险两种形式的复利bonus
Annual profit
$$
PRO_{t}=\left(\Vx{t}{}^{\prime}+G-e\right)(1+i)-q_{x+t}(S+f)-p_{x+t}\cdot \Vx{t+1}{}^{\prime}
$$其中只有保费 $G$ 和准备金是 $\Vx{t}{}$ 按照计算保费时的假设算出来的，其余均是按照这一年里实际情况来（投资收益率、死亡率和费用率）。
Asset shares
类似过去法准备金的计算。记 $AS_{t}$ 为 $t$ 时刻的asset share，则将所收保费累积到 $t$ 时刻并减去保险金和索赔费用，再除以有效保单的数目，即可得到 asset share.
如果实际的投资收益率、死亡率和费用率和假设的相同，asset share 应当等于 policy value。那么考试要求评论两者差别时就可以根据投资收益率、死亡率和费用率三方面的差别来讲。
Thiele's differential equation
$$
\frac{d}{dt} \Vx{t}{x}=\delta_{t}\cdot \Vx{t}{x}+P_{t}-e_{t}-(S_{t}+E_{t}-\Vx{t}{x})\mu_{[x]+t}
$$是将连续现金流情况下的保单的准备金变动率分解为四部分：利息增长；保费收入；费用支出；死亡保单自身的准备金不足对剩余有效保单准备金的影响。
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