【CM1导引篇】Actuarial Mathematics
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IFoA 英国精算师考试 CM1 Actuarial mathematics 学习大纲，备考必看。各章的主干知识点和考点总结。
概述
今天由 Jackie 给大家讲 CM1 的主要内容。
本文针对的是2019年 IFoA 改革以后的出现的一个新科目：CM1 Actuarial Mathematics。
CM1 对应改革前的三个科目：
- CT4精算模型（Chapter 1-Chapter 2）
- CT1金融数学（Chapter 3-Chapter 14）
- CT5寿险精算（Chapter 15-Chapter 28）
除了以往就有的纸考（Paper A）以外，CM1还增加了机考（Paper B）的内容（EXCEL题，2-3题。2019年4月考了3道，2019年9月考了2道）。Paper A和Paper B的分数按照七三开算一个加权总分，再对总分进行划线。
我们先说纸考部分。CM1 Paper A 的时长为3 小时 15 分钟，在报名的考点进行笔试。 各考点分值如下：
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- Data and basics of modelling (10%)
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- Theory of interest rates (20%)
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- Equation of value and its applications (15%)
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- Single decrement models (10%)
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- Multiple decrement and multiple life models (10%)
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- Pricing and reserving (35%)
我们看看Paper A 删去了哪些内容：
- MWRR、TWRR的计算(CT1).
- Arbitrage and forward contracts 远期合约的定价(CT1). 放到了 CM2 中进行考察。
- Stochastic interest rate models 随机利率模型(CT1). 放到了 CM2 中进行考察。
- Pension funds 养老金(CT5).养老金这一章本身是套公式为主，再放在CM1的意义不大，个人猜测IFoA是把这部分内容主要放在ST4里考查了。但是在机考部分，pension的部分知识点会放在多重减因表的部分来考察。
- Mortality, selection, and standardization死亡率，选择，标准化死亡率(CT5).
删掉的内容可以说大大降低了CM1的考试难度。只考主干知识，这也是英精一贯的风格。2019年4月和2019年9月的CM1考试难度都不大，没有任何偏题难题，主要考察学生对基础知识点掌握的熟练程度，所以大家在复习的时候注重主干知识点即可。
必读的教材是ActEd出的官方教材CMP：CM1 - Actuarial Mathematics - Combined Materials Pack for exams in 2019，我们逐章看来：
CT4精算模型部分
Chapter 1:Data analysis
Chapter 2:Principles of actuarial modelling
这两章都是新增的内容，占了10%的分值，以背诵知识点为主。2014年-2017年没有对应Data analysis这部分的真题，但2019年9月的CM1考试考了两三道。Principles of actuarial modelling的题历年真题里就很多了，2014-2017年一共9道CT4的题，2019年4月也有1道。
在2020年的CM1大纲中，Syllabus objective 1.1已经被删去，所以Chapter 1:Data analysis在2020版的CM1教材中也被删除了。（尽管2019年9月的CM1考试中考了Data analysis的题）。Analysis of data的内容放到了CS1科目中进行考察。
CT1金融数学部分
Chapter 3:Cashflow models 现金流模型
介绍了常见的几类现金流模型， 利息理论的模型有：zero-coupon bond, fixed-interest security, index-linked security, cash on deposit, equity, annuity-certain, ‘interest-only’ loan, repayment loan (or mortgage)；寿险精算的模型有：pure endowment, endowment assurance, term assurance, contingent annuity, car insurance policy, health cash plan.
本章无须背诵，了解基础概念即可，这是基础章节。
Chapter 4:The time value of money 货币的时间价值
介绍了利率的基本概念（单利、复利）、积累因子、现值、贴现率（单贴现率、复贴现率）、贴现因子。
这里会考察一道等价率问题：已知 $i$， 求出等价的 $d$，或已知 $d$， 求出等价的 $i$。注意看清题目说的 simple 还是 compound (effective)，直接代公式：积累因子=1/贴现因子。
Chapter 5:Interest rates 利率
本章讲了名义利率、名义贴现率、常数利息力、利息力函数。会考察一道名义利率、名义贴现率、实际利率、实际贴现率、利息力之间转化的题。
Chapter 6:Real and money interest rates 真实利率和货币利率
前面我们讨论的都是货币利率，没有考虑通胀。货币利率剔除通胀影响以后的利率即真实利率。真实利率的计算一般会放到后续index-linked bond的章节进行考查。
Chapter 7:Discounting and accumulating 贴现和累积
本章主要考一道 payment stream 的题。计算 payment stream 的现值和计算 equivalent constant annual effective rate of interest 或force of interest.
前面的章节对于连续的现金流，我们假设单位时间里支付的金额都是常数，在payment stream里则推广到了函数，配合前面的利率推广出的利息力函数，这就涉及到两个积分的计算技巧。不用担心，题目里这两类函数的搭配都是凑好的，属于很好算的积分。
详见推文：《【CT1题型探究】Payment Stream：浅谈rate of payment的函数设定》Chapter 8:Level annuities 等额年金
要掌握期末支付的等额年金、期初支付的等额年金、连续支付的等额年金、每期支付p次的等额年金、永续年金、延期年金的现值和积累值的计算，理解期初和期末支付的关系式。
Chapter 9:Increasing annuities 递增年金
掌握递增年金和递减年金的现值和积累值的计算。
Chapter 10:Equations of value 价值等式
支出的EPV等于收入的EPV。在价值等式中，只要知道其他几个变量的值，就可以求出剩下的值。其中，已知其他变量，求解利率时，会用到线性插值法。
Chapter 11:Loan schedules 分期付款计划
这部分机考和纸考都会涉及。是机考部分的常客。
要会用未来法和未来法计算t时刻的支付后还未偿还完的贷款（loan outstanding at time $t$），并会计算每期支付的利息和本金部分。对分期付款频率高于每年一次的情况如何计算也需要掌握。
在机考里需要会搭建分期付款表，一年一年往下迭代。
Chapter 12:Project appraisal 项目评估
这一章会考察 Payback period 和 discounted payback period 的计算。折现投资回收期 Discounted payback period (DPP) 是使得积累值大于等于0的 $t$ 的最小值，且为贷款利率和存款利率的分界点。
还会考察对两个项目进行评估比较，主要是对两个项目的Accumulated value，Net present values，Payback periods和Internal rate of return进行比较，要根据具体情况对项目进行comment，比如当资金非常充裕时，在Payback period和Net present value中，我们就会更加看重NPV。
Chapter 13:Bonds, equity and property 债券，证券和不动产
本章考查两类题型：固定收益债券定价问题、指数连结债券。
固定收益债券定价，要会计算No tax、Income tax、Capital gains tax的债券价格。考虑了Income tax 和Capital gains tax 后，记得先要进行Capital gains test。题中可能会有Optional redemption dates的情况，要会计算The maximum price to be paid和The minimum net yield the investor will obtain。
对于指数联结债券，需要掌握其money yield 货币收益率和real yield 真实收益率的计算。
Chapter 14:Term structure of interest rates 利率的期限结构
本章需要掌握即期利率、远期利率等，并且要根据不同的Discrete-time forward rates计算债券的价格和gross redemption yield(GRY)。利率期限结构的三类理论也会考察。
本章还会考一道免疫的题。这就需要掌握Duration 久期, convexity 凸度的计算，以及达到免疫（Immunisation）的条件（雷丁顿条件）：现值相等，久期相等，且资产的凸度大于负债的凸度。
CT5寿险精算部分
Chapter 15:The life table 生命表
首先，值得一提的是，2019版的教材在顺序上终于把The life table放在了Life assurance contracts和Life annuity contracts之前。旧版的CT5教材里，The life table是在两者之后。而因为涉及到基本的生存分析的内容是在The life table一章中，后两章需要这一章的知识作为基础才好往下讲，何况后续寿险和年金的EPV计算是要用生命表来算的。新版教材的顺序编排更加合理。但这一章的生存分析部分讲得依然很有限，建议先看CS2的第六章生存分析对基本概念有个了解。$T_0$ 的分布、$T_x$ 的分布（cdf, sf, pdf）、 force of mortality、$T_x$ 的均值、中位数、方差、$K_x$ 的分布、如何用生命表函数计算survival/mortality probabilities.
本章涉及的考题有两类：给一个生存概率或死亡概率，要求解读其含义，以及非整数年龄 $p$ 概率和 $q$ 概率的近似：Uniform distribution of deaths assumption(UDD假设)和 Constant force of mortality assumption (CFM假设).
Chapter 16:Life assurance contracts 寿险合同
Chapter 17:Life annuity contracts 年金合同
考过阐述四类主要寿险特征的题。当然更重要的题型是计算寿险和年金的现值和方差。
说个题外话，在CM1的寿险精算部分，我们对被保险人、投保人、保单持有人（the insured, policyholder）的概念不做区分，同时也不区分保险金和保险金额，默认保单赔付的金额（保险金）即为保险金额（sum assured）。
Chapter 18:Evaluation of assurances and annuities 寿险和年金的现值关系式
要掌握保费换算公式，这在机考里也会用到。计算出或者查表得到年金现值以后，就可以通过premium conversion relationship进而得到寿险现值。
Chapter 19:Variable benefits and conventional with-profits policies 可变的保额和分红保单
递增寿险，递减寿险，单利bonus和复利bonus的分红险的现值如何计算，以及四类bonus的概念等都会考察。注意在计算复利bonus的生死两全保险的benefit的EPV时，要把生存给付和死亡给付分开来计算。复利bonus为1.923%时，利率往往为6%，因为这样相当于4%的利率。
Chapter 20:Gross premiums 总保费
Chapter 21:Gross premium reserves 总保费准备金
用价值等式计算总保费和总保费准备金。这都属于基础章节，把涉及各类寿险的题都总结归纳一遍就行。
Chapter 22:Joint life and last survivor functions 联合寿险（年金）和最终生存人寿险（年金）
这一章是双生命的寿险和年金。有joint life和last survivor两种。需要掌握其现值的计算。
Chapter 23:Contingent and reversionary benefits 或有寿险和继承年金
这一章是双生命且带顺序的寿险和年金。继承年金是常考的题，较复杂的有六种type，结合公式好好理解。2019年9月的考试考了一道2005年的真题改编题，除了年龄稍有变化，其他地方都没变，所以历年真题也是复习的重点。
Chapter 24:Mortality profit 死差益
Mortality Profit 的计算，重点在于 DSAR 的计算。$DSAR=S-R-{}_{t+1}V$. 不同给付结构的寿险和年金的 DSAR 是不一样的。
注意payable immediately on death的DSAR和payable at the end of the year of death的DSAR是不一样的，前者需要把后者的$S$变为$S(1+i)^{1/2}$
Mortality Profit 从原先的 Net premium and reserves的章节中独立了出来，并且删去了单独的 Net premium and reserves一章（当然净保费的概念是删不掉的）。由此推测Mortality Profit 或将成为考察重点。虽然2019年4月和2019年9月的死差益都考得比较简单且常规，都是单生命的情况。但不排除以后的考试出双生命的情况（历年真题里有），这样就需要计算双生命的准备金（可能有点超纲，也可以不算超纲）。最复杂的情况是双生命且开始的联合生命保单就是三类的：single-female，single-male，joint life的保单，这样就需要计算五种DSAR。
Chapter 25:Competing risks
本章考三类题，HSD model的EPV计算，多重减因模型的概率，和多重减因表的计算。
Chapter 26:Unit-linked and accumulating with-profits contracts 投资联结保险和分红保险
本章介绍了投连险和分红险。本章的投连险是按照英国的情况来写的，所以和中国的不太一样，理解的时候按照教材来，注意unit 和 non-unit两个账户里的各项如何加减。
Chapter 27:Profit testing 利润测试
利润测试对于传统寿险和投资联结保险都可以进行，用来计算保费，准备金等，考试经常考察投资联结的生死两全保险的利润测试。要会通过利润测试计算利润向量 Profit vector，利润预期 Profit signature，进而计算利润边际 Profit margin.
这部分在 2019 年 4 月和 9 月 CM1 的 Paper A 中都未作考察，只是在 4 月的机考中考察了。预计这部分内容未来也会是机考专属部分。
Chapter 28:Reserving aspects of profit testing 利润测试中的准备金提取
本章比较重要的是如何提取 non-unit 准备金。总的原则是让提取完准备金以后的现金流，只能有第一年年末是负的，其余年份都是非负的。这道题基本每次都会考。
CM1B机考
Paper B 是新增的 Excel 机考部分，在任何能上网的地方都参加考试。考试前会收到一个网址，到考试时间了可以再网址里下载机考题目，在规定时间内完成并上传到该网址即可。如果出现网络故障，保留上传故障的截图凭证，并及时给协会发邮件。
考试在1小时45分钟的基础上，还会给15分钟的上传答案时间，所以理论上最多有两小时可以用来做题。
机考一般会考一道金融数学的题，比如 loan schedule 或 project appraisal，和一道寿险精算的题，比如利润测试或 benefit 的 EPV 计算等。很多题目都会用到“单变量求解”，也就是 goalseek 函数。整体 EXCEL 的操作不难，难点主要在对知识点计算原理的理解上，另外机考属于新题型，所以速度上也需要多加练习。
公式书和计算器
CM1是一门符号逻辑的学科，同时也是一门统计学科。因此考试考察的另一重点是如何查表。你需要把自己的公式等价或者近似成可以直接查表的公式，这就需要清楚公式表里面哪些符号是可以查阅的。公式书依然是我们所熟悉的小黄书（2002－Formulae－and－Tables（2nd edition）），考场每个位置上都会有放一本以供查阅。
这门要用到科学计算器和金融计算器。IFoA 考试官方允许的计算器才能带进考场使用。科学计算器推荐 TI-30XS，金融计算器推荐 BA-II Plus或 BA-II Plus Pro。但实际的考试中基本用不到金融计算器，因为考试为方便大家的计算，一般都会出类似 4%, 6% 等一些常规的利率，而这几种利率下相应的年金寿险现值在小黄书上都是可以直接查到的。