现代准备金评估中Net Premium Valuation里Full Preliminary Term Approach的使用
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前段时间看到了一个网站（来源：香港保险协会），总结很多国家长期型保险的准备金要求和偿付能力要求。是不错的学习材料。
网络版本：Regional Solvency and Reserve Summary.xlsx
Excel可下载版本：Regional Solvency and Reserve Summary.xlsx
很有趣的一个发现是各个国家或地区的准备金计算要求都不太相同；-
中国： 取一年FPT准备金和zillmer调整准备金的最大值(Maximum Allowance 3.5% SI)。
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香港：净保费准备金（Zillmer调整后）(Net Premium Valuation) （不过香港IA没有规定一定要用Zillmer调整，实际用FPT应该也可以）
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新加坡: 毛保费准备金 (Gross Premium Valuation)
Net Premium Valuation就是在做Valuation时不考虑Expense，用未来的Benefit Payout的折现减去未来Net Premium Payment的现值来计算准备金的方法。
既然没有考虑费用，那么Net Premium Valuation是不是一定会低估准备金呢？答案是否定的。原因在于对于Expense的考虑其实已经隐含地包含在了计算里面。怎样包含的呢？秘密就藏在Net Premium Payment里面。由于实际的Gross Premium payment会高于Net Premium Payment，而且它们的差值应该正好是Expense得来的，所以Net Premium Valuation其实不一定会低估准备金。
但是Net Premium Valuation有一些问题，就是它没有考虑到Expense的分布在整个保单生命期是不均匀分布的。在第一个Policy Year实际expense很高，随后的Policy Year expense很低，在这样的情况下Net Premium Method会显著高估准备金需求。对于那些小公司来说，本身第一个保单年度就有很高的开销，又要拿出很多准备金，这让它们很难继续发展下去。
为了解决这个问题，Net Premium Valuation有一些变种，比如Ziller 和 FPT(Full Preliminary Term)。这些变种的本质就是降低第一个保单年度的Net Premium，增加之后保单年度的Net Premium，来减小需要的Reserve。
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为了做说明，我自己做了下面的示例。
产品假设：一个20年的Term Life产品，死亡给付为100万元。
模型点假设：Issue Age是ALB 15，性别是男性，Valuation basis和Pricing basis相同：使用的生命表是1958 CSO - Male, ALB。
利率假设：恒定5%Net Premium计算出来是1,844每年，FPT第一年的保费是1,429每年，随后的保费是1,882每年。
FPT第一年的净保费由 Claim Amount 100万元 * 死亡率 / (1+利率）得出
FPT随后的净保费可以这样得出：想象从第二年开始的现金流是一张全新的保单，计算这个全新保单的净保费。如果Expense是每年年初固定200，那么不同方法下的Reserve如下：
其中GPV和NPV Reserve完全相等，所以重叠了。如果Inital expense是800，随后的Expense是每年年初固定100，那么不同不同方法下的Reserve如下：
可以看到- NPV 方法下的Reserve远远高于GPV的Reserve
- FPT方法下的Reserve更加接近并高于GPV的Reserve
我自己做了一个Excel Illustration，欢迎大家来指出问题
NPV.zip
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说到这里不得不提到的另一个东西是Premium Deficiency reserve。
为什么会有这个Reserve呢？大家知道，如果Valuation basis和Pricing basis相同，一般来说Net Premium是会低于Gross Premium的。但是有两种可能NP会更高- 在FPT或者Zillmer方法调整后，因为故意调低了第一年的Net Premium，调高了第二年和之后的Net Premium，所以第二年和之后的Net Premium是有可能高于Gross Premium的。
- Valuation basis和Pricing basis不同且Valuation basis要更加保守。
这种情况下，有人就认为这样会低估准备金。应该多提一个Deficiency Reserve，使得最后算出的准备金使用的未来保费是Gross Premium而不是Net Premium。
这里的假设情况是$GP$<$P_x$，所以Combined之后的Reserve会更大。参考文献：
Valuation Methods of a Life Insurance Company
LIFE CONTINGENCY MODELS II
https://media.wsb.wisc.edu/data/act_sci/Frees/ActMathII/EmergingCosts/EmergingCosts14Nov2012/full_preliminary_term_approach.html
DEFICIENCY RESERVES: THE CICADAS OF THE LIFE INSURANCE INDUSTRY